Question

【题目】已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）当时，，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）求出的导函数，令，求解三角不等式即可得到函数的单调增区间；

（2）构造函数，通过分类讨论，利用导数求的最小值，只需即可.

（1）因为，

故可得.

令，即，

则，

解得

故的单调增区间为.

（2）不妨令，

则，，

令，则，

故在区间上单调递增，又，

故.

①当时，，

则在区间上单调递增，

故，

则在区间上成立，满足题意；

②当时，在区间上有实根，

因为在区间上单调递增，

则在区间上也单调递增

故在区间上单调递减，在上单调递增，

则存在时，，

不满足题意.

③当时，

则在区间上单调递减，

故，

不满足题意.

综上所述：实数的取值范围为.