Question

已知函数f（x）=2x³+ax²+bx+3在x=-1和x=2处取得极值．
（1）求f（x）的表达式和极值．
（2）若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，试求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f′（x）=6x²+2ax+b
∴

f′(-1)=0 f′(2)=0

即

6-2a+b=0 24+4a+b=0

解得

a=-3 b=-12

∴f（x）=2x³-3x²-12x+3
f′（x）=6x²-6x-12
f′（x）＞0解得x＜-1或x＞2
由f′（x）＜0解得-1＜x＜2
故函数f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）递增，函数在（-1，2）递减
所以当x=-1时，有极大值10；当x=2时，有极小值-17
（2）由（1）知，若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，需
m+4≤-1或

m≥-1 m+4≤2

或m≥2
所以m≤-5或m≥2