Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数的图象上满足下面条件的任意两点．若，则点M的横坐标为．
（1）求证：M点的纵坐标为定植；
（2）若，求S_n（n≥2，n∈N*）．
（3）已知，（其中n∈N^*，又知T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜（15）λ（S_n+1+1）对于一切n∈N^*．都成立，试求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由则M是AB中点，再由其横坐标为建立等式，得到x₁+x₂=1，再由
转化为y=用x的关系来探究．
（2）由（1）知，x₁+x₂=1，f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，即：，，两式相加求解．
（3）当n=1时，，，由T_n＜λ（S_n+1+1），得，得．
当n≥2时，用裂项法求得T_n，
由T_n＜λ（S_n+1+1）求解．
解答：解：（1）∵∴M是AB中点，设M为（x，y）
由，得x₁+x₂=1，∴x₁=1-x₂或x₂=1-x₁
∴
=
=
=
=
=
∴M点的纵坐标的定值为

（2）由（1）知，x₁+x₂=1，
则f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，
，，
上述两式相加，得

=1+1++1
∴

（3）当n=1时，，，
由T_n＜λ（S_n+1+1），得，得．
当n≥2时，
∴
由T_n＜λ（S_n+1+1），得，
∴，
∵，（当且仅当n=2时，=成立）∴．
综上所述，若对一切n∈N^*．都有T_n＜λ（S_n+1+1）成立，由于，所以
点评：本题主要考查中点的向量表示及函数值求解，还考查了用裂项法求数列前n项和，构造数列不等式恒成立问题．