Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，前n项积为T_n．
（1）若2S_n=1-a_n，n∈N⁺，求a_n．
（2）若2T_n=1-a_n，a_n≠0，证明{

1

Tn

}为等差数列，并求a_n．
（3）在（2）的条件下，令M_n=T₁•T₂+T₂•T₃+…+T_n•T_n+1，求证：

1

15

≤Mn＜

1

6

．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可求数列通项；
（2）由2T_n=1-a_n，可得

1

Tn

-

1

Tn-1

=2，从而可证{

1

Tn

}为等差数列，即可求a_n；
（3）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．

解答：（1）解：∵2S_n=1-a_n，∴n≥2时，2S_n-1=1-a_n-1，
两式相减可得a_n=

1

3

a_n-1，
∵2S₁=1-a₁，∴a₁=

1

3

∴an=

1

3n

；
（2）证明：∵2T_n=1-a_n，∴2T_n=1-

Tn

Tn-1

，
∴

1

Tn

-

1

Tn-1

=2
∴{

1

Tn

}为等差数列；
∵T₁=a₁=

1

3

∴

1

Tn

=2n+1
∴T_n=

1

2n+1

，an=

2n-1

2n+1

；
（3）证明：∵T_n=

1

2n+1

，∴T_nT_n+1=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

）
∴M_n=T₁•T₂+T₂•T₃+…+T_n•T_n+1=

1

2

[

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）]=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)
∴

1

15

≤Mn＜

1

6

．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列与等比数列的证明，确定数列的通项，正确运用求和方法是关键．