Question

已知函数，
（Ⅰ）设a＞0，若函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为f（x）=，
则f′（x）=，x＞0，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值，
因为函数f（x）在区间（其中a＞0）上存在极值，
所以，解得；
（Ⅱ）不等式，即为，
记，
所以g′（x），
令h（x）=x-lnx，则h′（x）=，
∵x≥1，
∴h′（x）≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
所以g（x）_min=g（1）=2，
所以k²-k≤2，解得-1≤k≤2。