Question

已知数列{a_n}满足：．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令，证明：．

Answer 1

【答案】分析：本题考查了由数列{a_n}递推关系求通项公式，数列的求和以及运用“构造数列法”解题．
（1）这种证明实际上是在提示利用递推公式和构造数列的方式把非等差、等比数列转化成等差等比数列，为（2）中获取通项公式提供了方向，在此基础上可以先求得数列的通项公式，进而即可得到数列{a_n}的通项公式；
对于（3）其含义是构造数列{}并求其前n项的和，得出{}的通项公式后就可发现，可以用裂项求和的方式．
解答：（1）证明：∵，
∴===．
∴数列为等差数列．
（2）由（1）得，为等差数列，公差为1，首项为．
∴．∴．
（3）∵，∴=．
∴．
当n≥2时，
当n=1时，综上所述：．
点评：递推数列问题成为高考的热点问题，对于由递推公式所确定的数列通项公式问题，通常可以对递推公式变形转化成等差或等比数列，解答此类问题通常用构造法，及构造数列的方法，为减缓难度，题目一般给出台阶，比如本题的（1）；
本题（3）同样是给出了一种构造方式，其目的是为了考查裂项求和，注意当n≥2时，=＞1-=1-（）的解题思路．