Question

已知函数（a为常数）在x=1处的切线的斜率为1．
(1)求实数a的值，并求函数的单调区间，
(2)若不等式≥k在区间上恒成立，其中e为自然对数的底数，求实数k的取值范围．

Answer 1

(1)的单调递增区间是，的单调递减区间是;(2).

试题分析：(1)先求，利用在处的导数就是此点处切线斜率，即，算出a,然后确定函数的定义域，利用的区间为函数的增区间，的区间为函数的减区间；(2)将不等式恒成立转化成，利用(1)在的单调性，判断出在上的最小值为或，所以分别求出和,然后比较得出最小值.即，此题考察利用导数研究函数性质，逻辑推理要严谨，此题属于中档题.
试题解析：(1)
由题知：即，解得，.
，定义域
，由，得，
当时，，此时，，在上单调递减.
当时，，此时，，在上单调递增.
综上：的单调递增区间是，的单调递减区间是.
(2)由(1)知在上单调递增，在上单调递减.
在上的最小值为或
又，且
在上的最小值为
若在上恒成立，则