题目内容

设二次函数f（x）=ax²-2x-2a（a＞0）
（1）若f（x）在x∈[0，2]的最小值为-3，求a的值；
（2）若f（x）≤0，在x∈（1，3）内恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1） $\text{[math]}$
① $\text{[math]}$ ，即a≥ $\text{[math]}$ 时，f（x）_min=f（ $\text{[math]}$ ）=-2a- $\text{[math]}$ =-3，∴2a²-3a+1=0
∴a= $\text{[math]}$ 或a=1（舍去），∴a= $\text{[math]}$
② $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，f（x）_min=f（2）=-4a-4-2a=-3，∴2a=1，∴a= $\text{[math]}$ （舍去）；
（2）f（x）≤0，在x∈（1，3）内恒成立，等价于ax²-2x-2a≤0在x∈（1，3）内恒成立，则
① $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
②a=0时，不成立；
③ $\text{[math]}$ ，∴-2≤a＜0
综上可知实数a的取值范围为-2≤a＜0或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）配方，根据对称轴与区间的位置关系，分类讨论，利用f（x）在x∈[0，2]的最小值为-3，即可求a的值；
（2）f（x）≤0，在x∈（1，3）内恒成立，等价于ax²-2x-2a≤0在x∈（1，3）内恒成立，分类讨论，即可得到结论．
点评：本题考查二次函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，恰当分类是关键．