Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，cos（C+

π

4

）+cos（C-

π

4

）=

2

2

．
（I）求角C的大小；
（II）若c=2

3

，sinA=2sinB，求a，b．

Answer 1

分析：（I）利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，根据C是三角形的内角，得到C的度数；
（II）由sinA=2sinB，根据正弦定理得到a与b的关系式，记作①，利用余弦定理表示出c²，由c和cosC的值代入即可得到a与b的另一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值．

解答：解：（I）由cos（C+

π

4

）+cos（C-

π

4

）=2cosCcos

π

4

=

2

cosC=

2

2

，
得到cosC=

1

2

，因为C为三角形的内角，所以C=

π

3

；
（II）由sinA=2sinB得：

sinA

sinB

=2，根据正弦定理得：

a

b

=2，即a=2b①，
又c²=a²+b²-2abcosC，c=2

3

，C=

π

3

，所以a²+b²-ab=12②，
联立①②，解得a=4，b=2．

点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用正弦、余弦定理化简求值，是一道中档题．