Question

如图，设计一个小型正四棱锥形冷水塔，其中顶点P在底面的射影为正方形ABCD的中心O，返水口E为BC的中点，冷水塔的四条钢梁（侧棱）设计长度均为10米．冷水塔的侧面选用钢板，基于安全与冷凝速度的考量，要求钢梁（侧棱）与底面的夹角α落在区间内，如何设计可得侧面钢板用料最省且符合施工要求？

Answer 1

【答案】分析：根据题意，算出底面边长等于，从而在Rt△P0E中算出，可得侧面积关于α的函数关系式：S_侧面=，由sinα∈[]即可算出当α=时，侧面钢板用料最省．由此可得相应的底面边长和高，得到本题答案．
解答：解：依题意，可得
钢梁（侧棱）与底面的夹角为∠PBO=α．
∴OP=10sinα，-------------------------（2分）
则，
可得---------（4分）
在Rt△POE中，
，---（6分）
∴-------（8分）
=----------------------------（10分）
又∵，可得，----------（11分）
∴当且仅当时，侧面积取得最小值，等于---------------（13分）
此时的，，．
即冷水塔的底面边长应设计为米，高米时，侧面钢板用料最省--------（14分）
点评：本题给出实际应用问题，求侧面积的最小值．着重考查了正棱锥的性质、直线与平面所成角、解直角三角形和三角函数模型的应用等知识，属于中档题．