Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞

x

ex

-

2

e

成立．

Answer 1

（1）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f'（x）=lnx+1，…（1分）
当x∈(0，

1

e

)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(

1

e

，+∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增 …（2分）
①0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；       …（4分）
②

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；                …（5分）
所以f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e . tlnt，t≥ 1 e

…（6分）
（2）证明：由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时取到．
设m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，则m′(x)=

1-x

ex

，
∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，
∴m(x)max=m(1)=-

1

e

，当且仅当x=1时取到…（10分）
从而对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞

x

ex

-

2

e

成立．  …（12分）