Question

函数f（x）的定义域为R，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f(

x

3

)=

1

2

f（x）；③f（1-x）=1-f（x），则f(

1

3

)+f(

1

6

)等于

3

4

．

Answer 1

分析：在③中，令x=0，则可求出f（1），在②中，令x=1，则可求出f（

1

3

）．在②③中，再分别令x=

1

2

，

1

3

可求出f（

1

2

），f（

1

6

）f（

1

9

），进而求出f(

1

3

)+f(

1

6

)的值．

解答：解：在②f(

x

3

)=

1

2

f（x）中，令x=1得f(

1

3

)=

1

2

f(1)，
再在f（1-x）=1-f（x）中，令x=0，得f（1）=1-f（0）=1，
所以f(

1

3

)=

1

2

f(1)=

1

2

，
在③f（1-x）=1-f（x）中，令x=

1

2

，则f（1-

1

2

）=1-f（

1

2

），解得f（

1

2

）=

1

2

，
在②f(

x

3

)=

1

2

f（x）中，令x=

1

3

得f(

1

9

)=

1

2

f(

1

3

)=

1

4

；
再令x=

1

2

，则f（

1

6

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，
于是则f(

1

3

)+f(

1

6

)=

1

2

+

1

4

=

3

4

故答案为：

3

4

点评：本题考查函数值的求法，抽象函数的应用，循环求解，赋值法的应用，恰当的取值和利用条件是解决此题的关键．