题目内容
已知a，b为正实数．
（1）若函数f(x)=
，求f（x）的单调区间
（2）若e＜a＜b（e为自然对数的底），求证：ab＞ba；（3）求满足ab=ba（a≠b）的所有正整数a，b的值．
（1）若函数f(x)=
| lnx |
| x |
（2）若e＜a＜b（e为自然对数的底），求证：ab＞ba；（3）求满足ab=ba（a≠b）的所有正整数a，b的值．
（1）∵f(x)=
，则f′(x)=
，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0；当x＞e时，f′（x）＜0．
∴当x∈（0，e）时，f（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，f（x）为减函数．
（2）由上知，若e＜a＜b，f（a）＞f（b），得：
＞
，∴blna＞alnb，即lnab＞lnba，∴ab＞ba；
（3）由ab=ba得：
=
．
∵当x∈（0，e）时，f（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，f（x）为减函数，∴
＜
＜
＞
＞
＞
＞…，
发现
=
，
∴a=4，b=2或a=2，b=4．
| lnx |
| x |
| 1-lnx |
| x2 |
当0＜x＜e时，f′（x）＞0；当x＞e时，f′（x）＜0．
∴当x∈（0，e）时，f（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，f（x）为减函数．
（2）由上知，若e＜a＜b，f（a）＞f（b），得：
| lna |
| a |
| lnb |
| b |
（3）由ab=ba得：
| lna |
| a |
| lnb |
| b |
∵当x∈（0，e）时，f（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，f（x）为减函数，∴
| ln1 |
| 1 |
| ln2 |
| 2 |
| lne |
| e |
| ln3 |
| 3 |
| ln4 |
| 4 |
| ln5 |
| 5 |
发现
| ln2 |
| 2 |
| ln4 |
| 4 |
∴a=4，b=2或a=2，b=4．
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