题目内容

已知a、b为正实数，试比较
a
b
+
b
a
与
a
+
b
的大小．
分析：化简（
a
b
+
b
a
 ）-（
a
+
b
）为
(
a
+
b
)(
a
-
b
)2
ab
，再由a、b为正实数可得
(
a
+
b
)(
a
-
b
)2
ab
≥0，从而得出结论．
解答：解：由于（
a
b
+
b
a
 ）-（
a
+
b
）=（
a
b
-
b
）+（
b
a
-
a
）=
a-b
b
+
b-a
a
=
(a-b)(
a
-
b
)
ab

=
(
a
+
b
)(
a
-
b
)2
ab
，
再由a、b为正实数可得
a
+
b
＞0，
ab
＞0，(
a
-
b
)2≥0，可得
(
a
+
b
)(
a
-
b
)2
ab
≥0，
∴
a
b
+
b
a
≥
a
+
b
，当且仅当a=b时，取等号．
点评：本题主要考查用比较法证明不等式，式子的变形是解题的关键和难点，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知a，b为正实数．
（1）若函数f(x)=
lnxx
，求f（x）的单调区间
（2）若e＜a＜b（e为自然对数的底），求证：ab＞ba．
已知a，b为正实数．
（1）求证：
a2
b
+
b2
a
≥a+b；
（2）利用（I）的结论求函数y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
（0＜x＜1）的最小值．
（2012•静安区一模）（1）已知a、b为正实数，a≠b，x＞0，y＞0．试比较
a2
x
+ 
b2
y
与
(a+b)2
x+y
的大小，并指出两式相等的条件；
（2）求函数f（x）=
2
x
+
9
1-2x
，x∈(0，
1
2
)的最小值．
已知a，b为正实数，且
2
a
+
1
b
=1，则a+2b的最小值为
 
．

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