题目内容
如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，请建立空间直角坐标系解决下列问题．（1）求证：AC⊥SB；
（2）求直线SB与平面ADS所成角的正弦值．
分析：（1）建立如图所示的坐标系，证明
•
=0，即可得出结论；
（2）取平面ADS的一个法向量，求cos＜
，
＞，即可求直线SB与平面ADS所成角的正弦值．
| AC |
| SB |
（2）取平面ADS的一个法向量，求cos＜
| SB |
| DC |
解答：
（1）证明：建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），S（0，0，2），
∴
=（-2，2，0），
=（2，2，-2），
∴
•
=0，
∴AC⊥SB；
（2）解：取平面ADS的一个法向量
=（0，2，0），则
cos＜
，
＞=
=
，
∴直线SB与平面ADS所成角的正弦值是
．
（1）证明：建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），S（0，0，2），∴
| AC |
| SB |
∴
| AC |
| SB |
∴AC⊥SB；
（2）解：取平面ADS的一个法向量
| DC |
cos＜
| SB |
| DC |
| ||||
|
|
| ||
| 3 |
∴直线SB与平面ADS所成角的正弦值是
| ||
| 3 |
点评：本题考查线线垂直，考查线面角，考查向量知识的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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