Question

在如图所示的空间几何体中，平面平面
=,和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上.

（I）求证：平面
（II）求二面角的余弦值

Answer 1

（I）见解析     (II)二面角的余弦值为

(1)证线面平行的关键是证线线平行，取的中点作平面交平面于点根据面面垂直的性质定理和等边三角形的性质证出即证出平面
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的一个法向量，把二面角的余弦值转化为两个法向量的夹角的余弦值求解，注意二面角是锐角还是钝角
解：（I）由题意知，都是边长为2的等边三角形，取的中点连接，则

平面平面平面作平面交平面于点
而点落在上，
四边形是平行四边形，平面……………………6分
(II)依题意，建立如图空间坐标系

则，求得平面的一个法向量
设平面的一个法向量为，

二面角的余弦值为