Question

已知函数f（x）=x²（x-t），t＞0．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）设函数y=f（x）在点P（x₀，y₀）处的切线的斜率为k，当x₀∈（0，1]时，k≥-

1

2

恒成立，求t的最大值．

Answer 1

（I）求导函数可得f′（x）=x（3x-2t）
令f′（x）＞0，∵t＞0，∴x＜0或x＞

2t

3

；
令f′（x）＜0，∵t＞0，∴0＜x＜

2t

3

；
∴函数的单调增区间为（-∞，0），（

2t

3

，+∞）；单调减区间为（0，

2t

3

）；
（II）∵当x₀∈（0，1]时，k≥-

1

2

恒成立，
∴x₀∈（0，1]时，2t≤3x0+

1

2x0

恒成立
∵3x0+

1

2x0

≥2

3x0× 1 2x0

=

6

（当且仅当x₀=

6

6

时取等号）
∴2t≤

6

，∴t≤

6

2

，
∴t的最大值为

6

2

．