Question

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：
①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③当时，恒成立．则=________．

Answer 1

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分析：由已知中函数f（x）满足的三个条件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③当时，恒成立．我们易得f（）=，结合时，恒成立，可得f（）≥，又由f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，可得当x∈[，]时，f（x）=，进而得到答案．
解答：∵函数f（x）满足：f（1-x）+f（x）=1，x∈[0，1]，则f（）=，
且当时，恒成立，
则f（）≥，
又∵函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，
∴当x∈[，]时，f（x）=，恒成立，
故f（）=，f（）=，则f（）=，
则=1
故答案为1．
点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中根据已知中，函数满足的条件，得到当x∈[，]时，f（x）=恒成立，是解答本题的关键．