Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线，分别交椭圆于不同两点、.

（Ⅰ）求证：直线的斜率为一定值；

（Ⅱ）若直线与轴的交点满足：，求直线的方程；

（Ⅲ）若在椭圆上存在关于直线对称的两点，求直线在轴上截距的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆方程为由

所以椭圆方程为．   …………………………………………………3分

设直线方程为，则直线的方程为，

，

.…………6分

另解：设直线方程为,

由消去得,，

设，则，

因为直线的倾斜角互补，所以，，

，

，，解得.

所以直线的斜率为一定值.

（参照上一解法评分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可设直线方程为，则，设，则

由得.

由，,

解得，所以直线方程为.    …………………………………10分

（Ⅲ）设为椭圆上关于直线对称的两点，则

设中点为,则,

由得，

又,所以

由点在椭圆内知，，，解得，

即为直线在轴上截距的取值范围.