题目内容
已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)且f(x)在区间［-1,4］上的最大值是12.（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m,使得方程f(x)+
=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
解:（1）∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5),
∴可设f(x)=ax(x-5)(a＞0),
∴f(x)在区间［-1,4］上的最大值是f(-1)=6a.
由已知，得6a=12,
∴a=2,
∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).
（2）方程f(x)+ =0等价于方程2x3-10x2+37=0.设h(x)=2x3-10x2+37,
则h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10).
当x∈(0,
)时，h′(x)＜0,h(x)是减函数；
当x∈(
,+∞)时，h′(x)＞0,h(x)是增函数.
∴h(3)=1＞0,h(
)=-
＜0,h(4)=5＞0,
∴ 方程h(x)=0在区间(3, 
),(
4)内分别有唯一实数根，而在区间(0,3),(4,+∞)内没有实数根，
所以存在唯一的自然数m=3,使得方程f(x)+ 
=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根.
练习册系列答案
相关题目