Question

已知函数f（x）=2x+1．
（I）解不等式|f(x)|+|f(

x

2

)-3|＞4；
（II）若x≠0，求证：

|f(x2)-f(y2)|

2|x|

≥|x|-|y|．

Answer 1

分析：（I）把函数f（x）=2x+1代入不等式|f(x)|+|f(

x

2

)-3|＞4，根据绝对值不等式的代数意义去绝对值符号，转化为解一元一次不等式；把求得的结果求并集；（II）把函数f（x）=2x+1代入

|f(x2)-f(y2)|

2|x|

，根据绝对值的运算性质放缩不等式，即可证得结论．

解答：解：（I）原不等式可化为|2x+1|+|x-2|＞4
当x≤-

1

2

时，不等式化为-2x-1+2-x＞4，
∴x＜-1，此时x＜-1；
当-

1

2

＜x＜2时，不等式化为2x+1+2-x＞4，
∴x＞1，此时1＜x＜2；
当x≥2时，不等式化为2x+1+x-2＞4，
∴x＞

5

3

，此时x≥2．
综上可得：原不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（II）

|f(x2-y2)|

2|x|

=

|x2-y2|

|x|

=

||x|2-|y|2|

|x|

=

||x|+|y||

|x|

•||x|-|y||=|1+

|y|

|x|

|•||x|-|y||，
∵|1+

|y|

|x|

|≥1，当y=0时取等号，
∴|1+

|y|

|x|

|•||x|-|y||≥||x|-|y||≥|x|-|y|
因此

|f(x2-y2)|

2|x|

≥|x|-|y|．

点评：考查绝对值的代数意义，去绝对值的过程体现了分类讨论的思想方法，应用绝对值运算性质放缩不等式，防守方的应用，属中档题．