题目内容
已知函数f(x)=4cosxsin(x+
)-1．
（1）求f（x）的最小正周期：
（2）已知p：θ＞
，q：函数g(x)=(θ+1)x在R上为增函数，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求f（θ）的值域．
| π |
| 6 |
（1）求f（x）的最小正周期：
（2）已知p：θ＞
| π |
| 4 |
分析：（Ⅰ）先利用和角公式、二倍角公式及辅助角公式对已知换进行化简然后结合正弦函数的性质可求函数的最小正周期
（Ⅱ）由题意先求p，q的对应的范围，然后由p∧q为假命题，p∨q为真命题，得P和q为一真一假命题，分（1）p为真命题，q为假命题，（2）p为假命题，q为真命题分别进行求解即可
（Ⅱ）由题意先求p，q的对应的范围，然后由p∧q为假命题，p∨q为真命题，得P和q为一真一假命题，分（1）p为真命题，q为假命题，（2）p为假命题，q为真命题分别进行求解即可
解答：解：（Ⅰ）因为f(x)=4cosxsin(x+
)-1
=4cosx（
sinx+
cosx）-1
=2
sinxcosx+2cos2x-1
=
sin2x+cos2x
=2sin（2x+
）…（4分）
所以f（x）的最小正周期为π…（6分）
（Ⅱ）由题意可得q：θ+1＞1
即q：θ＞0
由p∧q为假命题，p∨q为真命题，得P和q为一真一假命题…（8分）
（1）p为真命题，q为假命题
，此时θ不存在
（2）p为假命题，q为真命题
即0＜θ≤
，…（11分）
则
＜2θ+
≤
于是，当2θ+
=
即θ=
，f（x）有最大值2
当2θ+
=
，即θ=0时，f（θ）有最小值1
所以f（θ）的值域为：（1，2]…（14分）
| π |
| 6 |
=4cosx（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=2
| 3 |
=
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
所以f（x）的最小正周期为π…（6分）
（Ⅱ）由题意可得q：θ+1＞1
即q：θ＞0
由p∧q为假命题，p∨q为真命题，得P和q为一真一假命题…（8分）
（1）p为真命题，q为假命题
|
（2）p为假命题，q为真命题
|
即0＜θ≤
| π |
| 4 |
则
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
于是，当2θ+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
当2θ+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
所以f（θ）的值域为：（1，2]…（14分）
点评：本题主要考查了和差角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用及复合命题的真假关系的应用．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
，则它是（ ）
| ||
| |x-3|-3 |
| A、奇函数 | B、偶函数 |
| C、既奇又偶函数 | D、非奇非偶函数 |