Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞

x

ex

-

2

e

成立．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），确定函数的单调性，再结合[t，t+2]（t＞0）决定函数在[t，t+2]（t＞0）上的增减性，然后得到函数的最小值即可；
（2）分别求出左右两边对应函数的最值，根据最值的关系即可证得结论．

解答：（1）解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f'（x）=lnx+1，…（1分）
当x∈(0，

1

e

)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(

1

e

，+∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增 …（2分）
①0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；       …（4分）
②

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；                …（5分）
所以f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e . tlnt，t≥ 1 e

…（6分）
（2）证明：由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时取到．
设m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，则m′(x)=

1-x

ex

，
∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，
∴m(x)max=m(1)=-

1

e

，当且仅当x=1时取到…（10分）
从而对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞

x

ex

-

2

e

成立．  …（12分）

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查利用导数确定函数的单调性，求函数的最值，其中不等式的证明的关键是判断函数的最值关系．