Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E，F分别为棱
AB，PD的中点．
（ I）在现有图形中，找出与AF平行的平面，并给出证明；
（ II）判断平面PCE与平面PCD是否垂直？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

Answer 1

分析：（I）应有平面PEC与AF平行．取PC中点G，连EG，GF，可以证出AEGF为平行四边形，得出EG∥AF，所以AF∥平面PEC
（II）应有面PCD⊥面PEC．可以通过证明AF⊥PD，AF⊥CD，得出AF⊥面PCD．由（I）EG∥AF，所以EG⊥面PCD，从而命题成立．
还可以利用空间向量法：
以A为原点AB 为X轴、AD为Y轴、AP为Z轴，建立空间坐标系．
（I）通过证明

AF

，

EG

平行，得出EG∥AF，所以AF∥平面PEC
（II）分别求出面PCD，面PEC的一个法向量，利用两法向量是否垂直判定两平面是否垂直．

解答：解：（I）平面PEC与AF平行…（1分）
取PC中点G，连EG，GF，
因为F是PD中点，
所以GF

∥ .

.

1

2

CD，
在正方形ABCD中，AE

∥ .

.

1

2

CD，
所以AE

∥ .

.

GF，
所以AEGF为平行四边形，
所以EG∥AF，所以AF∥平面PEC…（6分）
（II）由PA⊥平面ABCD，所以

PA⊥CD AD⊥CD

⇒CD⊥面PAD，又AF?面PAD，
所以CD⊥AF，又△PAD为等腰直角三角形，F为PD中点，∴AF⊥PD，
∵AF⊥面PCD．由（I）EG∥AF，∴EG⊥面PCD，
 又EG?面PEC，所以，面PCD⊥面PEC…（12分）
（也可用空间向量法）
（I） 以A为原点AB 为X轴、AD为Y轴、AP为Z轴，建立空间坐标系．…（1分）
易求A（0，0，0），F（0，1，1），G（1，1，1），E（1，0，0），
P（0，0，2），D（0，2，0），C（2，2，0）…（3分）

AF

=(0，1，1)，

EG

=(0，1，1)，
所以AF∥面PEG．…（6分）
（II） 设面PCD的法向量为

n

=（x，y，z），由

n

⊥

CD

，

n

⊥

PD

D得x=0，y=z．
令

n

=(0，1，1)，…（8分）
 设面PEC的法向量为

m

=(a，b，c)，
由

m

⊥

EC

，

m

⊥

PE

得c=

1

2

a，b=-

1

2

a，可令

m

=(2，-1，1)…（10分）
因为

n

•

m

=0，所以，面PCD⊥面PEC…（12分）

点评：本题考查空间直线和平面平行，平面和平面垂直的判定．考查空间想象、推理论证能力．利用空间向量的方法，能降低思维难度，思路相对固定，是人们研究解决几何体问题又一有力工具．