Question

已知函数，其中为常数．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）若任取，求函数在上是增函数的概率．

Answer 1

（Ⅰ）函数的单调递增区间分别为和；（Ⅱ）函数在上是增函数的概率为．

解析试题分析：（Ⅰ）求函数的单调递增区间，首先将代入，我们易求出函数的解析式，从而求出函数的导函数后，令导函数的函数值大于等于0，由此构造关于的不等式，解不等式即可得到函数的单调递增区间；（Ⅱ）求函数在上是增函数的概率，这是一个几何概型问题，我们可以先画出，对应的平面区域的面积，然后再求出满足条件函数在上是增函数时对应的平面区域的面积，计算出对应的面积后，代入几何概型公式即可得到答案．
试题解析：（1）当时，， 
令，,解得或，
故函数的单调递增区间分别为和 
（2）
若函数在上是增函数，则对于任意，恒成立．
所以，，即           8分
设“在上是增函数”为事件，则事件对应的区域为

全部试验结果构成的区域，
所以，
故函数在上是增函数的概率为 
考点：利用导数研究函数的单调性；几何概型；概率的应用．