Question

已知圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．

(1)证明不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；

(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度．并求此时m的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：直线方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，m∈R，这表明此直线经过一个定点，由得定点坐标为A(3，1)． 　　又(3－1)2＋(1－2)2＜25， 　　所以点A在圆内，直线l一定与圆有两个交点． 　　(2)解：当圆心与点A的连线与过A的弦垂直时，截得的弦长最短， 　　∴． 　　解之，得m＝－．

提示：

说明直线与圆恒相交，只要说明直线恒过圆内一点，所以求出直线l所过的定点，此定点在圆内，问题(1)即得证；直线被圆截得的弦中最短的一条就是过定点且与过定点的直径垂直的弦，其斜率可由直径的斜率求得．