Question

 在△ABC中，AD是BC边上的高，垂足为D点．BE是∠ABC的角平分线，并交AC于E点．若BC=6，CA=7，AB=8．
（1）求DE的长；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

（1）∵BE为∠ABC的角平分线，
∴CE：EA=BC：BA=6：8，
∵CA=CE+EA=7，
∴CE=3，EA=4，
设CD=x，根据勾股定理得到CA²-x²=AD²=AB²-BD²，即49-x²=64-（6-x）²，
解得：x=

7

4

，
过E作EF⊥CD，可得CF：FD=CE：EA=3：4，CF+FD=CD=

7

4

，
∴CF=

3

4

，FD=1，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：EF=

CE2-CF2

=

9- 9 16

=

135

4

，
在Rt△EFD中，根据勾股定理得：ED=

EF2+FD2

=

151

4

；
（2）∵BC=6，CA=7，AB=8，
∴cos∠ABC=

64+36-49

2×6×8

=

51

96

，
∵∠ABC为三角形的内角，
∴sin∠ABC=

1-( 51 96 )2

=

6615

96

=

3 735

96

，
则S_△ABC=

1

2

BC•AB•sin∠ABC=

3 735

4

．