题目内容
已知椭圆E：
=1（a＞b＞0）的离心率为
，其长轴长与短轴长的和等于6．（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．
【答案】分析：（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）利用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理即可得出．
解答：解：（1）由题意可得
，解得
．
∴椭圆E的方程为
．
（2）有（1）可知：A1（0，1），A2（0，-1），设P（x，y），则
．
则直线PA1的方程为
，令y=0，得xN=
；
直线PA2的方程为
，令y=0，得
．
由切割线定理可得：|OT|2=|OM||ON|=
=
=4，
∴|OT|=2，即线段OT的长为定值2．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理是解题的关键．
（2）利用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理即可得出．
解答：解：（1）由题意可得
，解得．∴椭圆E的方程为
．（2）有（1）可知：A1（0，1），A2（0，-1），设P（x，y），则
．则直线PA1的方程为
，令y=0，得xN=；直线PA2的方程为
，令y=0，得．由切割线定理可得：|OT|2=|OM||ON|=
==4，∴|OT|=2，即线段OT的长为定值2．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理是解题的关键．
练习册系列答案
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=1（a＞b＞o）的离心率e=
，且经过点（
,1），O为坐标原点。
=1（a＞b＞o）的离心率e=
，且经过点（
,1），O为坐标原点。
=1（a＞b＞o）的离心率e=
，且经过点（
,1），O为坐标原点。
=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为
，离心率为
，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．
已知椭圆E：
=1（a＞b＞o）的离心率e=
，且经过点（
,1），O为坐标原点。