Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以轴的非负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线和 分别与曲线相交于、两点（，两点异于坐标原点）.

（1）求曲线的普通方程与、两点的极坐标；

（2）求直线的极坐标方程及的面积.

Answer 1

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）消参，即可得到曲线C的普通方程，结合，，得到曲线C的极坐标方程，计算A,B坐标，即可。（2）结合，，即可得到直线AB的极坐标方程，分别计算OA,OB的长，结合三角形面积计算公式，即可。

解：（1）曲线的参数方程为（为参数），

所以消去参数得曲线的普通方程为，

因为，，

代入曲线可得的极坐标方程：.

将直线，代入圆的极坐标方程可知:，，

故、两点的极坐标为，.

（2）由，得：，，根据两点式可知直线的方程为：，

所以的极坐标方程为：.

所以的极坐标方程为.

可知直线恰好经过圆的圆心，故为直角三角形，且，，

故.