Question

如图，四棱锥,底面为直角梯形，,,

,是等腰直角三角形，是中点，

．

（Ⅰ）证明：平面;

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

                                                                 

                                                                      

Answer 1

证明：

                                                             

（Ⅰ）取中点，连接。∵，中点，

∴。∵是等腰直角三角形，是中点，

∴，∥。∵,,∴，…………4分

，平面，平面，

∴平面。平面，∴。

∵平面，平面，和相交，

∴平面。                                        ……………6分

 

（Ⅱ）解法一：连接，由勾股定理可知。

建立如图所示的空间直角坐标系，设=2，

则点，，，，

………………8分

设平面的法向量，平面的法向量。

。

所以平面的一个法向量为。

所以平面的一个法向量为                   ………………10分

所以                  ………………12分

 

解法二：延长交于，由(1)知平面,

过作，交于,可得平面.

令，可求连接,过作

交于，可得平面,因为所以

过作,交于，连接,可求

所以为所求二面角的平面角，                          …………………9分

所以所以               ………………12分