题目内容

某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
组别分组频数频率
第1组 [50，60） 8 0.16
第2组 [60，70） a ▓
第3组 [70，80） 20 0.40
第4组 [80，90） ▓ 0.08
第5组 [90，100] 2 b
合计 ▓ ▓
（1）写出a，b，x，y的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；
（3）在（2）的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期望．

解：（1）由题意可知，样本容量= $\text{[math]}$ =50，∴ $\text{[math]}$ =0.04，
第四组的频数=50×0.08=4，
∴a=50-8-20-2-4=16．
y= $\text{[math]}$ =0.004，x= $\text{[math]}$ =0.032．
∴a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004．
（2）由（1）可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．
从竞赛成绩是80分）以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有 $\text{[math]}$ 种情况．
设事件A：随机抽取的2名同学来自同一组，则 $\text{[math]}$ ．
所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是 $\text{[math]}$ ．
（3）由（2）可知，ξ的可能取值为0，1，2，
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
所以，ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

所以， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用频率= $\text{[math]}$ ×100%，及 $\text{[math]}$ 表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a，b，x，y；
（2）由（1）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出；
（3）由（2）可知，ξ的可能取值为0，1，2，再利用组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式即可得出．
点评：熟练掌握频率= $\text{[math]}$ ×100%，及 $\text{[math]}$ 表示频率分布直方图的纵坐标、频率之和等于1、互斥事件的概率、组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式是解题的关键．