题目内容

近日国内某大报纸有如下报导：
加薪的学问
学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密．在美国广为流传的一道数学题目：老板给出两个加工资的方案，一是每年年末加一千；二是每半年结束时加300元，请选一种．一般不擅长数学的，很容易选前者，因为一年加一千元总比两半年共600元要多．其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利．例如，在二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000元，而第二种方案在第一年加得300+600元，第二年加得900+1200=2100元，总数也是3000元．但到第三年，第一方案可得1000+2000+3000=6000元，第二种方案则为300+600+900+1200+1500+1800=6300元，比第一方案多了300元．第四年、第五年会更多．因此，你若会在该公司工作三年以上，则应选择第二方案．根据以上材料，解答下列问题：
（1）如果在该公司干10年，问选择第二方案比选择第一方案多加薪水多少元？
（2）如果第二方案中的每半年加300元改成每半年加a元，问a取何值时，总是选择第二方案比选择第一方案多加薪？
分析：（1）第一方案、第二方案的加薪额都是递增的等差数列，到第10年末，第一方案加薪总额为：1000+2000+3000+…+10000；第二方案加薪总额为：300+300×2+300×3+…+300×20；在该公司干满10年，作差比较可知，第二方案比第一方案多加薪多少；
（2）第n年（n∈N*）选择第二方案总比选择第一方案加薪多，即等差数列的前n项和：2na+
2n(2n-1)
2
a＞1000n+
n(n-1)
2
×1000，整理得a＞
500(n+1)
2n+1
，右边=250(1+
1
2n+1
)，对于n∈N*时恒成立，存在最大值，从而得出a的取值范围．
解答：解：（1）由题意，第一方案每年的加薪额，第二方案每半年的加薪额都构成等差数列
第10年末，第一方案加薪总额为：1000+2000+3000+…+10000=55000元，
第二方案加薪总额为：300+300×2+300×3+…+300×20=63000元，
所以在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪：63000-55000=8000元；
（2）由题意，第n年（n∈N*）选择第二方案总比选择第一方案加薪多，
则由等差数列的前n项和公式：2na+
2n(2n-1)
2
a＞1000n+
n(n-1)
2
×1000
化简得a＞
500(n+1)
2n+1
=250(1+
1
2n+1
)，对于n∈N*时恒成立，
又当n=1时，
1
2n+1
取最大值
1
3
，此时250(1+
1
2n+1
)取得最大值
1000
3
；所以，
当a＞
1000
3
时选择第二方案总是比选择第一方案多加薪．
点评：本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了数列与函数，数列与不等式的实际应用，是中高档题．
练习册系列答案
相关题目
15、某校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部，请画出学生会的组织结构图．
已知某类学习任务的掌握程度y与学习时间t（单位时间）之间的关系为y=f（t）=
1
1+a•2-bt
•100%，这里我们称这一函数关系为“学习曲线”．已知这类学习任务中的某项任务有如下两组数据：t=4，y=50%；t=8，y=80%．
（Ⅰ）试确定该项学习任务的“学习曲线”的关系式f（t）；
（Ⅱ）若定义在区间[x1，x2]上的平均学习效率为η=
y2-y1
x2-x1
，问这项学习任务从哪一刻开始的2个单位时间内平均学习效率最高．
某校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部，请画出学生会的组织结构图．

近日国内某大报纸有如下报道：

加薪的学问

学数学，其实是要使人聪明，使人思维更加缜密．在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案，一是每年增加薪水1000元；二是每半年增加薪水300元．请选一种．一般不擅数学的，很容易选前者，因为一年加1000元总比两个半年共加600元要多．其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利．例如：在第二年的年末依第一方案可以加得1000＋2000＝3000(元)；而第二种方案在第一年加得300＋600＝900(元)，第二年加得900＋1200＝2100(元)，总数也是3000元．但到第三年，第一方案加得1000＋2000＋3000＝6000(元)；第二方案则为300＋600＋900＋1200＋1500＋1800＝6300(元)，比第一方案多了300元．第四年、第五年会更多．因此，你若能在该公司干三年以上，则应选第二方案．

根据以上材料，如果在该公司干10年，问：选择第二方案比选择第一方案多加薪多少元？

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