Question

1．如图，已知矩形ABCD的长和宽分别是4，3，AE⊥BD，CF⊥BD，沿对角线BD把△BCD折起，使二面角C-BD-A的大小为60°，则线段AC的长为$\frac{\sqrt{193}}{5}$．

Answer 1

分析 首先在矩形ABCD中，分别求出AE，EF，CF的长，在平面ABD内，过F作FH∥AE，且FH=AE，连接AH，易得四边形AEFH为矩形，由FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH为二面角C-BD-A的平面角，且为60°，求得CH，再由线面垂直得到△ACH为直角三角形，由勾股定理，即可得到AC的长．

解答 解：在直角三角形ABD中，AB=4，AD=3，BD=5，
AE=$\frac{12}{5}$，DE=$\sqrt{9-\frac{144}{25}}$=$\frac{9}{5}$，
同理直角三角形ABC中，CF=$\frac{12}{5}$，BF=$\frac{9}{5}$，
则EF=BD-DE-BF=$\frac{7}{5}$，
在平面ABD内，过F作FH∥AE，且FH=AE，连接AH，易得四边形AEFH为矩形，
则AH=EF=$\frac{7}{5}$，AH∥EF，
FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH为二面角C-BD-A的平面角，且为60°，
即CH=CF=$\frac{12}{5}$，
由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，
即有AH⊥CH，
则AC=$\sqrt{\frac{49}{25}+\frac{144}{25}}$=$\frac{\sqrt{193}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{193}}{5}$．

点评 本题主要考查空间的二面角的求法，考查空间线面的位置关系，同时考查基本的运算能力，属于中档题．