Question

9．设函数f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{3×{2}^{t}-24，0≤t≤10}\\{-{2}^{t-5}+128，10＜t≤15}\end{array}\right.$．
（1）求使f（t）=0成立的t的值；
（2）求函数f（t）取得最大值和最小值时对应的t的值．

Answer 1

分析 （1）当0≤t≤10时，3×2^t-24=0，当10＜t≤15时，-2^t-5+128=0，从而分别解出即可；
（2）当0≤t≤10时，f（t）=3×2^t-24在[0，10]上是增函数，当10＜t≤15时，-896≤-2^t-5+128＜96，从而求最值即最值点．

解答 解：（1）当0≤t≤10时，3×2^t-24=0，
解得，t=3；
当10＜t≤15时，-2^t-5+128=0，
解得，t=12；
故t=3或t=12；
（2）当0≤t≤10时，
f（t）=3×2^t-24在[0，10]上是增函数，
故-21≤f（t）≤3048，
当10＜t≤15时，
5＜t-5≤10，
-896≤-2^t-5+128＜96，
综上所述，
当t=15时，f（t）有最小值-896，
当t=10时，f（t）有最大值3048．

点评 本题考查了分段函数的最值的求法，属于中档题．