Question

是否存在锐角α，β，使得下列两式：①α+2β=

2π

3

；②tg

α

2

?tanβ=2-

3

同时成立？若存在，求出α和β；若不存在，说明理由？

Answer 1

由α+2β=

2π

3

得：

α

2

+β=

π

3

，tan(

α

2

+β)=

tan α 2 +tanβ

1-tan α 2 tanβ

=

3

．
将②式代入得：tan

α

2

+tanβ=3-

3

，与②式联立，解得：tan

α

2

=1，tanβ=2-

3

，
或tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1．
当tan

α

2

=1时，因为0＜

α

2

＜

π

4

，这样的角α不存在，故只能是tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1，
因为α，β均为锐角，所以α=

π

6

，β=

π

4

．
综上，存在锐角α=

π

6

，β=

π

4

，使得①，②同时成立．