Question

（2007•潍坊二模）如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=

1

2

AP=2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD上的射影为点D，如图2．
（I）求证：AP∥平面EFG；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的中位线定理、平行线的传递性、平行四边形的判定定理、线面平行的判定定理等即可得出；
（II））由已知点P在平面ABCD上的射影为点D，可得PD⊥平面ABCD．即PD是三棱锥P-ABC的高．利用三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

S△ABC×PD即可得出．

解答：（I）证明：取AD的中点H，连接FH、GH．
∵E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，∴EF∥CD，CG

∥

.

DH，
∴四边形CDHG是平行四边形，∴CD∥GH．
∴EF∥GH．∴四点EFHG四点共面．
又FH∥PA．
PA?平面EFGH，FH?平面EFGH．
∴PA∥平面EFGH．
（II）解：∵点P在平面ABCD上的射影为点D，∴PD⊥平面ABCD．
即PD是三棱锥P-ABC的高．
而S△A BC=

1

2

×AB×BC=

1

2

×2×2=2．
∴三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

S△ABC×PD=

1

3

×2×2=

4

3

．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理、平行线的传递性、平行四边形的判定定理、线面平行的判定定理、线面垂直的判定、三棱锥的体积计算公式等是解题的关键．