Question

（2007•潍坊二模）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边．若向量

m

=（2，0）与

n

=（sinB，1-cosB）所成角为

π

3

．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=

3

，求a+c的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积的坐标运算可求得

2sinB

2-2cosB

=

1

2

，继而可求得cosB=-

1

2

，从而可知△ABC中角B的大小；
（Ⅱ）由（I）知B=

2π

3

，于是A+C=

π

3

，利用正弦定理可知

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

3

sin 2π 3

=2，从而a+c=2sinA+2sinC整理可得a+c=2sin（A+

π

3

），继而可求其最大值．

解答：解：（I）由题意得cos

π

3

=

m • n

| m |•| n |

=

2sinB

2 sin2B+(1-cosB)2

=

1

2

，…（2分）
即

2sinB

2-2cosB

=

1

2

，
∴2sin²B=1-cosB，2cos²B-cosB-1=0，…（4分）
∴cosB=-

1

2

或cosB=1（舍去），…（5分）
∵0＜B＜π，
∴B=

2π

3

．…（6分）
（II）由（I）知A+C=

π

3

，
而

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

3

sin 2π 3

=2，…（7分）
∴a+c=2sinA+2sinC…（8分）
=2[sinA+sin（

π

3

-A）]
=2（sinA+

3

2

cosA-

1

2

sinA）
=2sin（A+

π

3

），…（9分）
∵0＜A＜

π

3

，
∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

．…（10分）
∴

3

2

＜sin（A+

π

3

）≤1，
∴a+c=2sin（A+

π

3

）∈（

3

，2]，
故a+c的最大值为2．…（12分）

点评：本题考查数量积的坐标运算，考查正弦定理及三角函数间的关系式的综合应用，属于中档题．