Question

设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：y=mx²-n（m＞0，n＞0）与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．
（Ⅰ）求抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件知n=1，再由F₁（-1，0），F₂（1，0），故m=1，由此可求出抛物线C₂的方程．
（2）先写出直线PQ的方程，代入椭圆方程整理得关于x的一元二次方程．然后利用根与系数的关系结合题设条件进行求解．最后利用求函数最值的方法即可求得△MPQ面积的最大值．
解答：解：（1）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故n=1．
又F₁（-1，0），F₂（1，0），故m=1．
所以抛物线C₂的方程为：y=x²-1（15分）
（2）设N（t，t²-1），
由于y'=2x知直线PQ的方程为：y-（t²-1）=2t（x-t）．
即y=2tx-t²-1．（7分）
代入椭圆方程整理得：4（1+5t²）x²-20t（t²+1）x+5（t²+1）²-20=0，
△=400t²（t²+1）²-80（1+5t²）[（t²+1）²-4]=80（-t⁴+18t²+3），，，
故=．（10分）
设点M到直线PQ的距离为d，
则．（12分）
所以，△MPQ的面积
S====（14分）
当t=±3时取到“=”，经检验此时△＞0，满足题意．
综上可知，△MPQ的面积的最大值为．（15分）
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．