Question

在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）
（Ⅰ）证明：{

1

an

}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）若λan+

1

an+1

≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将已知条件整理得：

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)，由此求得{

1

an

}是以1为首项，3为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

1

an

=1+3(n-1)=3n-2，由此求得数列{a_n}的通项．
（Ⅲ）由条件可得λ≤

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

，利用数列的单调性可得{c_n}为单调递增数列，所以c₂最小，c2=

28

3

，
由此求得λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）将3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)，
所以{

1

an

}是以1为首项，3为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

1

an

=1+3(n-1)=3n-2，所以an=

1

3n-2

．
（Ⅲ）若λan+

1

an+1

≥λ恒成立，即

λ

3n-2

+3n+1≥λ恒成立，整理得：λ≤

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

．   
令cn=

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

，
则可得 cn+1-cn=

(3n+4)(3n+1)

3n

-

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

=

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

．
因为n≥2，所以

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

＞0，即{c_n}为单调递增数列，所以c₂最小，c2=

28

3

，
所以λ的取值范围为(-∞，

28

3

]．

点评：本题主要考查等差关系的确定，数列的递推式的应用，数列与不等式的综合，属于难题．