Question

       如图,三棱柱ABC—A₁B₁C₁中, 侧棱与底面垂直，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，M是BC中点。

       (Ⅰ)求证：A₁B∥平面AMC₁；

       (Ⅱ)求直线CC₁与平面AMC₁所成角的正弦值；

     （Ⅲ）试问：在棱A₁B₁上是否存在点N，使AN与MC₁成角60°？若存在，确定点N的位

置；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

解：（Ⅰ）连接交于,连接.

在三角形中，是三角形的中位线，

所以∥,

又因平面，平面

所以∥平面.

（Ⅱ）（法一）设直线与平面所成角为，

点到平面的距离为，不妨设，则，

因为,，

所以.

因为，

所以,.

.

，，

（法二）如图以所在的直线为轴, 以所在

的直线为轴, 以所在的直线为轴，以的长度为单位长度建立空间直角坐标系.

则,,,，,,.设直线与平面所成角为，平面的法向量为.则有,,，

令,得，

∴.

（Ⅲ）假设直线上存在点，使与成角为.

设，则，.

，

或（舍去），

故.所以在棱上存在棱的中点，使与成角.