Question

已知函数f(x)=ax2-2x，x∈R（其中a＞0且a≠1）；
（1）若a＞1，请写出函数f（x）的单调区间（不需要证明）；
（2）若a=

1

2

，求函数f（x）在x∈[0，3]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据a＞1，可以得到复合函数f(x)=ax2-2x的外函数为单调递增函数，将求函数f（x）的单调区间转化为求u=x²-2x的单调区间，利用二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，即可得到y=x²-2x的单调区间，从而确定函数f（x）的单调区间；
（2）将a=

1

2

代入函数f（x）中，得到f（x）的表达式，再求出u=x²-2x的取值范围，利用指数函数的单调性即可求得函数的值域．

解答：解：（1）∵函数f(x)=ax2-2x，x∈R是由y=a^u和u=x²-2x两个函数复合而成，
∵内函数u=x²-2x的对称轴为x=1，
∴u=x²-2x的单调递减区间为（-∞，1），单调递增区间为（1，+∞），
∵a＞1，
∴外函数y=a^u是R上的单调递增函数，
根据复合函数单调性的“同增异减”规则，
∴函数f(x)=ax2-2x的单调递减区间为（-∞，1），单调递增区间为（1，+∞）；
（2）当a=

1

2

，则f（x）=(

1

2

)x2-2x，
∵u=x²-2x=（x-1）²-1，
∴对称轴为x=1∈[0，3]，
∴当x=1时，u取最小值-1，当x=3时，u取最大值3，
∴-1≤u≤3，
∵y=（

1

2

）^u是R上的单调递减函数，
∴当u=3时，y=（

1

2

）^u取最小值

1

8

，当u=-1时，y=（

1

2

）^u取最大值2，
∴

1

8

≤y≤2，
∴f（x）在x∈[0，3]上的值域为[

1

8

，2]．

点评：本题考查了函数的单调性与特殊点，考查了函数的值域．对于函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．本题运用了复合函数的单调性，关键是应用复合函数单调性判断的规则“同增异减”．常见的求值域的方法有：直接法，单调性法，换元法，分离常数法，性质法，不等式法，几何意义法等等．根据具体的题目的条件，判断出该题该使用何种方法进行求解．属于中档题．