题目内容
【题目】已知函数
在定义域内有两个不同的极值点.
（1）求
的取值范围;
（2）设两个极值点分别为：
，
，证：
.
【答案】（1）
.（2）见解析
【解析】
（1）由题得
，令
，则函数
在定义域内有两个不同的极值点等价于
在区间
内至少有两个不同的零点，再利用导数得到
，解不等式即得解；
（2）分析得到要证：
，只需证明
，即证
，不妨设
，即证
，构造函数构造函数
，其中
，证明
即得证.
（1）由题意可知，的定义域为，
且，
令，
则函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在区间内至少有两个不同的零点.
由
可知，
当
时，
恒成立，即函数在上单调，不符合题意，舍去.
当
时，由
得，
，即函数在区间
上单调递增；
由得，
，即函数在区间
上单调递减；
故要满足题意，必有，解得.
（2）证明：由（1）可知，
，
故要证，
只需证明，
即证，不妨设，即证，
构造函数，其中，
由
，
所以函数
在区间
内单调递减，所以得证.
即证.
练习册系列答案
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学校 | A | B | C | D |
抽查人数 | 10 | 15 | 100 | 75 |
“创文”活动中参与的人数 | 9 | 10 | 80 | 49 |
假设每名高中学生是否参与“创文”活动是相互独立的
（1）若本市共8000名高中学生，估计C学校参与“创文”活动的人数；
（2）在上表中从A，B两校没有参与“创文”活动的同学中随机抽取2人，求恰好A，B两校各有1人没有参与“创文”活动的概率；
（3）在随机抽查的200名高中学生中，进行文明素养综合素质测评（满分为100分），得到如上的频率分布直方图，其中
．求a，b的值，并估计参与测评的学生得分的中位数．（计算结果保留两位小数）．
