Question

某企业2011年初贷款a万元，年利率为r，按复利计算，从2011年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为

 

万元．

Answer 1

分析：根据题意知道贷款a万元，年利率为r，按复利计算5年后的本息和为a（1+r）⁵万元；设每年偿还x万元，第一年底偿还x万元的本息和为x（1+r）⁴，第二年底偿还x万元的本息和为x（1+r）³，第三年底偿还x万元的本息和为x（1+r）²，第四年底偿还x万元的本息和为x（1+r），第五年底偿还x万元全部还清，一共还了[x（1+r）⁴+x（1+r）³+x（1+r）²+x（1+r）+x]万元，则[x（1+r）⁴+x（1+r）³+x（1+r）²+x（1+r）+x]=a（1+r）⁵，算出x即可．

解答：解：由题意知：
∵贷款a万元，年利率为r，按复利计算
∴5年后的本息和为a（1+r）⁵万元
 设每年偿还x万元，则：
 第一年底偿还x万元的本息和为x（1+r）⁴万元，
 第二年底偿还x万元的本息和为x（1+r）³万元，
 第三年底偿还x万元的本息和为x（1+r）²万元，
 第四年底偿还x万元的本息和为x（1+r）万元，
 第五年底偿还x万元
 即：五年一共偿还[x（1+r）⁴+x（1+r）³+x（1+r）²+x（1+r）+x]万元
 相当于贷款a万元，年利率为r，按复利计算5年后的本息和为a（1+r）⁵万元
∴[x（1+r）⁴+x（1+r）³+x（1+r）²+x（1+r）+x]=a（1+r）5
∴x[

1-(1-r)5

1-(1+r)

]=a(1+r)5
∴x=

ar(1+r)5

(1+r)5-1

万元
故答案为：x=

ar(1+r)5

(1+r)5-1

万元．

点评：本题主要考查数列的实际应用问题，现实生活中得房贷的复利计算，对等比数列前n项和公式的计算能力要求较高．