题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，且经过点A（0，-1）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如果过点（0， $数学公式$ ）的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合），求 $数学公式$ • $数学公式$ 的值；当△AMN为等腰直角三角形时，求直线MN的方程．

解：（I）因为椭圆经过点A（0，-1），所以b=1，
又e= $\text{[math]}$ ，解得a=2，
所以椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
（II）①若过点（0， $\text{[math]}$ ）的直线的斜率不存在，此时M，N两点中有一个点与A点重合，不满足题目条件，
所以直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则MN的方程为y=kx+ $\text{[math]}$ ，
把y=kx+ $\text{[math]}$ 代入椭圆方程得（1+4k²）x²+ $\text{[math]}$ ，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
因为A（0，-1），
所以 $\text{[math]}$ =（x₁，y₁+1）•（x₂，y₂+1）=x₁x₂+y₁y₂+（y₁+y₂）+1
=- $\text{[math]}$ ；
②由①知：∠MAN=90°，如果△AMN为等腰直角三角形，设MN的中点为P，则AP⊥MN，且 $\text{[math]}$ ，
若k=0，则P（0， $\text{[math]}$ ），显然满足AP⊥MN，此时直线MN的方程为y= $\text{[math]}$ ；
若k≠0，则 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，解得k= $\text{[math]}$ ，
所以直线MN的方程为y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
综上所述，直线MN的方程为y= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由椭圆所过点A可求得b值，由离心率及a²=b²+c²可求得a值，从而得椭圆方程；
（Ⅱ）①易判断直线MN存在斜率，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的方程为y=kx+ $\text{[math]}$ ，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理、向量的数量积运算即可求得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的值；②由①知：∠MAN=90°，设MN的中点为P，由△AMN为等腰直角三角形得AP⊥MN，由中点坐标公式可得P点坐标，分情况讨论：若k=0易求此时直线MN方程；若k≠0，则 $\text{[math]}$ ，由斜率公式可得k的方程，解出得k，根据点斜式可求得直线MN方程，综上可得答案；
点评：本题考查直线方程、椭圆方程及直线与椭圆位置关系，考查向量的数量积运算，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．