Question

（2007•武汉模拟）已知双曲线y²-x²=1，过上焦点F₂的直线与下支交于A、B两点，且线段AF₂、BF₂的长度分别为m、n．
（1）写出直线AB的斜率k的取值范围；
（2）证明mn≥1；
（3）当直线AB的斜率k∈[

1

3

，

5

5

]时，求mn的取值范围．

Answer 1

分析：（1）结合等轴双曲线的性质能够写出直线AB的斜率k的取值范围．
（2）双曲线焦点为(0，

2

)．设直线AB的方程为y=kx+

2

，A(x1，y1)，B(x2，y2)．当k=0时，mn=1．当k≠0时，将y=kx+

2

代入双曲线方程，得(1-k2)y2-2

2

y+k2+2=0．由双曲线的第二定义，知m=-1+

2

y1，n=-1+

2

y2，由此能够证明mn≥1．
（3）记mn=λ，由

1+k2

1-k2

=λ，解得k2=

λ-1

λ+1

．由

1

9

≤k2≤

1

5

，解得

4

5

≤λ≤

3

2

为所求．

解答：解：（1）所求斜率的范围是-1＜k＜1．
（说明：只要写出范围，不需考查过程）（2分）
（2）易知双曲线上焦点为(0，

2

)．
设直线AB的方程为y=kx+

2

，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当k=0时，A、B两点的横坐标分别为1和-1，
此时mn=1．（4分）
当k≠0时，将y=kx+

2

代入双曲线方程，消去x得(1-k2)y2-2

2

y+k2+2=0．（6分）
由双曲线的第二定义，知m=-1+

2

y1，n=-1+

2

y2（8分）
所以，mn=1+2y1y2-

2

(y1+y2)=

1+k2

1-k2

=1+

2

1 k2 -1

＞1．
综上，知mn≥1．（10分）
（3）记mn=λ，由（2）知，

1+k2

1-k2

=λ，
解得k2=

λ-1

λ+1

．
由

1

9

≤k2≤

1

5

，解得

4

5

≤λ≤

3

2

为所求．（14分）

点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．