Question

（2011•黄冈模拟）椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-

3

，0)和F2(

3

，0)，且椭圆过点（

3

，-

1

2

）
（1）求椭圆方程；
（2）过点(-

6

5

，0)作直线l交该椭圆于M，N两点（直线l不与x轴重合），A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，椭圆的焦点在x轴上，求出点到焦点的距离即可求得椭圆方程；
（2）分直线MN的斜率存在与补存在，进行讨论，利用向量的数量积为0，可得结论．

解答：解：（1）由题意，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
则2a=

( 3 + 3 )2+ 1 4

+

( 3 - 3 )2+ 1 4

=4，得a=2，b=1
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．（4分）
（2）当直线MN⊥x轴时，直线MN的方程为x=-

6

5

，代入椭圆方程

x2

4

+y2=1得y=±

4

5

，∴M(-

6

5

，-

4

5

)，N(-

6

5

，

4

5

)
设直线MN与x轴交于点P，且A（-2，0）；得AP=

4

5

，PN=

4

5

∴∠NAP=

π

4

，得∠MAN=

π

2

∴若∠MAN的大小为定值，则必为

π

2

．（6分）
下面判断当直线MN的斜率存在且不为0时∠MAN的大小是否为定值

π

2

设直线MN的方程为：x=ky-

6

5

，
联立直线MN和曲线C的方程可得：

x=ky- 6 5 x2 4 +y2=1

得：(k2+4)y2-

12

5

ky-

64

25

=0，（8分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1+y2=

12k

5(k2+4)

，y1y2=-

64

25(k2+4)

（10分）
则

AM

•

AN

=(x1+2，y1)(x2+2，y2)=(k2+1)y1y2+

4

5

k(y1+y2)+

16

25

=0
∴∠MAN=

π

2

∴∠MAN的大小为定值

π

2

．（12分）

点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查定值的探求，关键是正确理解椭圆的定义，对于定值，可从特殊入手进行猜想，再给出一般性的证明．