Question

（2012•桂林模拟）数列{a_n}满足a1=

1

3

，且对于任意的正整数m，n都有am+n=aman，则

lim

n→∞

a1+Sn

an+Sn+1

=（　　）

• A．

  5

  3

• B．

  5

  6

• C．1
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：确定数列{a_n}为等比数列，进而表示出数列的前n项和，最后求极限，可得出答案．

解答：解：令m=1，则∵a_m+n=a_m•a_n，∴a_1+n=a₁•a_n，
∵a1=

1

3

，∴

an+1

an

=

1

3

∴数列{a_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列．
∴an=(

1

3

)n，Sn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]
∴

lim

n→∞

a1+Sn

an+Sn+1

=

lim

n→∞

1 3 + 1 2 [1-( 1 3 )n]

( 1 3 )n+ 1 2 [1-( 1 3 )n+1]

=

1 3 + 1 2

1 2

=

5

3

故选A．

点评：本题考查了等比数列关系的确定，考查等比数列的前n项和的公式及会进行极限的运算，是一道综合题．