Question

（本小题满分12分）某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资（单位：万元）满足：（为常数），且曲线与直线在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）.

（1）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；

（2）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

（参考数据：）

Answer 1

（1）甲：；乙：；

（2）当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元

【解析】

试题分析：（1）函数f(x)的定义域为，且，

∵点(1,3)在直线y=kx上，故有k=3 2分

又曲线y=f(x)与直线y=3x在点(1,3)处相切，

故有，

∴甲产品的利润与投资资金间的函数关系式为 4分

由题意得乙产品投资与利润的关系式为

将点(4,4)代入（*）式，可得m=2

所以乙产品的利润与投资资金间的函数关系式 6分

（2）设甲产品投资x万元，则乙产品投资（40-x）万元，且，则该公司所得利润为

8分

故有，

令，解得，

令，解得，

所以x=15为函数的极大值点，也是函数的最大值点 10分

所以（万元） 11分

所以当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元 12分

考点：此题考查函数在实际中的应用，利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线的切线方程