Question

已知函数f(x)=loga(8-2x)(a＞0且a≠1)．
（1）若f（2）=2，求a的值；
（2）当a＞1时，求函数y=f（x）+f（-x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，f（2）=log_a4=2 可得4=a²，由此解得a的值．
（2）当a＞1时，由题意可得8-2^x＞0，求得函数的定义域为（-3，3）．又函数y=f（x）+f（-x）=loga[65-8(2x+2-x)]，根据 2^x+2^-x≥2可得 0＜65-8（2^x+2^-x）≤49，由此可得函数y=f（x）+f（-x）的最大值．

解答：解：（1）由题意可得，f（2）=log_a4=2，∴4=a²，解得a=2．
（2）当a＞1时，由题意可得8-2^x＞0，x＜3，故函数的定义域为（-3，3）．
又函数y=f（x）+f（-x）=loga(8-2x)+loga(8-2-x)=loga[65-8(2x+2-x)]，
∵2^x+2^-x≥2 （当且仅当x=0时取等号），-3＜x＜3∴0＜65-8（2^x+2^-x）≤49，
故当x=0时，函数y=f（x）+f（-x）取得最大值为log_a49．

点评：本题主要考查对数函数的性质，以及基本不等式的应用，属于中档题．