题目内容
设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=
，且a≠b．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）已知f（
）≤f（x）≤f（
），求x的取值范围．
| ax+b |
| x+1 |
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）已知f（
| b |
| a |
|
分析：（1）利用导数判断函数的单调性．（2）利用函数的单调性结合不等式进行求解即可．
解答：解：（1）函数的定义域为{x|x≠1}，函数的导数f′(x)=
=
，
当a＞b时，f'（x）＞0，函数在f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递增．
当a＜b时，f'（x）＜0，函数在f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递减．
（2）若f（
）≤f（x）≤f（
），
当a＞b时，0＜
＜1，从而
＜
，由f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以
≤x≤
，即x的取值范围为[
，
]．
当a＜b时，
＞1，从而
＞
，由f'（x）＜0，可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
所以此时
≤x≤
，即x的取值范围为[
，
]．
| a(x+1)-(ax+b) |
| (x+1)2 |
| a-b |
| (x+1)2 |
当a＞b时，f'（x）＞0，函数在f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递增．
当a＜b时，f'（x）＜0，函数在f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递减．
（2）若f（
| b |
| a |
|
当a＞b时，0＜
| b |
| a |
| b |
| a |
|
所以
| b |
| a |
|
| b |
| a |
|
当a＜b时，
| b |
| a |
| b |
| a |
|
所以此时
|
| b |
| a |
|
| b |
| a |
点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，考查学生的运算能力综合性较强．
练习册系列答案
相关题目
．
），f（
）是否成等比数列，并证明f（
）≤f（
）；
为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．
，且a≠b．
）≤f（x）≤f（
），求x的取值范围．